考慮線性定常離散系統
圖1 線性定常離散系統
閉環脈沖傳遞函數為
(1)該系統的離散特征方程為
(2)離散系統根軌跡就是畫出閉環系統特征方程的根在z平面上隨參數K變化的軌跡。由于離散根軌跡與連續根軌跡在形式上相同，系統所以其根軌跡的根軌畫法與連續根軌跡類似。
繪制離散系統根軌跡的跡和基本原則：
(1) 根軌跡起于開環脈沖傳遞函數MG(z)的極點，終止于開環脈沖傳遞函數MG(z)的頻率零點；
(2)實軸上的某一區域，若其右側開環實數零、特性極點個數之和為奇數，離散則該區域必是系統根軌跡；
(3) 根軌跡對稱于實軸；
(4) 漸近線的個數等于開環脈沖傳遞函數MG(z)的極點np與零點nz之差，且漸近線與實軸的根軌交角
和交點
分別為
(3)
(4)(5) 根軌跡的分離點由下式求解
(5)即
(6)〖例1〗 設
，畫出其根軌跡。跡和解：開環脈沖傳遞函數的頻率極點為z=1和z=0.368，零點為z=-0.717和z=∞。特性可計算分離點為z=0.65(K=0.196)和z=-2.08(K=15)（先算分離點，離散再通過特征方程求K）。系統
由以上原則，根軌可畫出其根軌跡如下圖左圖。
圖2 根軌跡圖
在臨界點，K=2.39,此時特征方程為z2-0.488z-1=0，其根為
2. 離散系統頻率特性
在連續系統中，頻域分析法是應用頻率特性研究線性系統的一種經典方法。只要將傳遞函數中的s以jω置換，就可以得到相應的頻率特性。頻率特性有幅頻特性、相頻特性及幅相頻特性。
在連續系統中，某一個環節的頻率特性為
(1)在離散系統中，某一環節的頻率特性（奈氏曲線）為
(2)只是這里
的取值有限制。由前面分析可知
(3)〖例2〗 求開環脈沖傳遞函數
的頻率特性。解：由于s平面的虛軸與z平面的單位圓對應，所以s平面的
圍線對應z平面的單位圓。與連續系統相似，當在單位圓上有極點時，圍線應繞過該點，如圖3所示。
圖3 頻率特性
在該點定義
則
對應奈氏圖如圖4.15所示。其中G(-1)=-0.0381。
由于與連續系統形式相似，所以幅角原理和奈氏判據有相類似的結論。
奈奎斯特穩定判據：線性離散反饋系統穩定的充要條件是奈氏曲線反時針包圍臨界點的圈數R等于開環脈沖傳遞函數單位圓外的極點數P,即R=P。否則閉環系統不穩定，閉環單位圓外的極點數Z為Z=P-R。
由此判據可知，例2閉環系統是穩定的。
通過例2可以看出，由于頻率特性G(ejωT)不是ω的有理分式函數，所以不便于分析其頻率特性，這給分析和設計系統帶來不便。由4.1節可知，雙線性變換可以將z平面的單位圓變換為w平面的虛軸，而且由于w平面與s平面有類似的對應關系，因此可以運用與連續系統相同的頻域分析法來進行系統的分析和設計。
幅頻特性和相頻特性常采用對數幅頻特性和對數相頻特性。采用雙線性變換
，可以將z平面變換到w平面，從而可以方便地求出對應的對數幅頻特性和對數相頻特性。〖例3〗 已知系統開環脈沖傳遞函數為
，求其對數幅頻特性和對數相頻特性。解：采用雙線性變換
，得w平面的開環脈沖傳遞函數
對數幅頻特性和對數相頻特性如圖4所示。
圖4 對數幅頻特性和對數相頻特性
作者:綜合
